日本の商標法には、®に関する規定はありません。したがって、登録商標を使用する際に®を表示する義務はありません。もちろん、®を付けないことに対する罰則や不利な扱いもありません。
近いものとして、「商標登録表示」に関する規定はあります。
第七十三条 商標権者、専用使用権者又は通常使用権者は、経済産業省令で定めるところにより、指定商品若しくは指定商品の包装若しくは指定役務の提供の用に供する物に登録商標を付するとき、又は指定役務の提供に当たりその提供を受ける者の当該指定役務の提供に係る物に登録商標を付するときは、その商標にその商標が登録商標である旨の表示（以下「商標登録表示」という。）を付するように努めなければならない。
経済産業省令（商標法施行規則）では次のように定められています。
第十七条 商標法第七十三条の商標登録表示は、「登録商標」の文字及びその登録番号又は国際登録の番号とする。
商標の近くに「登録商標第○○号」と書いてあるのを見かけることがあると思います。これは「訓示規定」といわれるもので、表示しなかったとしても何ら罰則はありませんし、表示することによる法律上の効果も規定されていません。
ただ、®は登録商標の意味であると広く認知されていますので、登録商標であることをアピールし、他社の不用意な侵害行為を未然に防止するという事実上の効果はあります。
ただし、「商標登録表示」については罰則規定があります。
第七十四条 何人も、次に掲げる行為をしてはならない。
一 登録商標以外の商標の使用をする場合において、その商標に商標登録表示又はこれと紛らわしい表示を付する行為
二 指定商品又は指定役務以外の商品又は役務について登録商標の使用をする場合において、その商標に商標登録表示又はこれと紛らわしい表示を付する行為（以下略）
第八十条 第七十四条の規定に違反した者は、三年以下の懲役又は三百万円以下の罰金に処する。
登録商標でない商標に®を付けると「紛らわしい表示」に該当するおそれがありますので、ご注意ください（実際にこれで立件されたという話は聞きませんが）。どうしても何か付けたいのであれば「TM」（Trade Mark）としましょう。